对Black Litterman模型一无所知的可以参考这篇文档

文章作者是Ginanjar Dewandaru、Rumi Masih、Obiyathulla Ismath Bacha和A. Mansur. M. Masih，多风格轮动策略采用了3种风格：

• momentum
• value
• quality

看了一会发现出现很多Islamic相关的宗教词汇，我还以为这篇文章是要宣扬伊斯兰教义。查找了Islamic equities的意思：

Islamic equity funds (IEFs) are similar to traditional equity funds in that investors pool their funds to invest in shares. However, the main difference between IEFs and standard equity funds is that investors in IEFs earn halal profits in strict conformity with the precepts of Islamic shariah.

原来穆斯林进入股票市场也要遵守教义，结合宗教和量化的研究还算是比较清新脱俗。文章中研究美国市场上DowJones Islamic index的股票，将1996-2000的数据设为训练集，将2001-2012年的数据设为测试集。

“马可威茨模型为人垢病的是构建的投资组合难以理解、过于集中、对输入的参数过于敏感、以及估计误差被放大。这些原因导致金融从业人员不愿使用马可威茨模型。Black-Litterman模型利用概率统计方法，将投资者对大类资产的观点与市场均衡回报相结合，产生新的预期回报。该模型可以在市场基准的基础上，由投资者对某些大类资产提出倾向性意见，然后，模型会根据投资者的倾向性意见，输出对该大类资产的配置建议。新的资产配置具有符合直觉的组合及可以理解的权重配置。Black-Litterman模型自提出来后，已逐渐被华尔街主流所接受，现已成为高盛公司资产管理部门在资产配置上的主要工具。”

经典马可威茨模型

1952年3月，马可威茨发表一篇名为名为《投资组合选择》的文章，这篇文章提出的投资组合理论被认为是现代投资组合的开端，是现代投资组合理论的起源。投资者在投资过程中，往往会比较关心资产的收益和风险情况，马可威茨在《投资组合选择》中首次提出用期望收益率、方差分别计算资产的投资收益和方差，并指出投资者可以在不确定的条件下建立风险收益的有效边界，依据自身的投资偏好在风险收益有效边界上进行组合的选择。该模型具体形式是假定透支着是风险厌恶型，总是在风险一定的条件下追求收益最大化或者在收益一定的条件下使组合风险最小。具体模型可用公式表示为：

1）一定收益水平下，风险最小：

$$min \ W'\Sigma W$$ $$\left\{\begin{matrix} s.t.\ W'\overline{R}=R_p \\ \sum_{i=1}^n W_i=1 \end{matrix}\right.$$

2)一定风险水平下，收益最大：

$$max \ W'\overline{R}$$ $$\left\{\begin{matrix} s.t. \ W'\Sigma W=\sigma_p^2 \\ \sum_{i=1}^n W_i=1 \end{matrix}\right.$$

• n:投资组合中资产的数目
• W：组合中各资产权重的列向量
• $\Sigma$:收益率的方差协方差矩阵
• $\overline{R}$:资产的预期收益率向量
• $\sigma_p^2$:资产组合的方差

传统均值方差模型主要利用情景分析法和历史数据分析法进行参数估计，这两种方法都在不同程度上造成参数估计出现偏差，而均值方差模型本身对参数变化十分敏感，参数细微的变化都会使得各资产配置的比例发生较大的变化，对预期收益率高或者和其他资产负相关的资产错误地配置过高比例，由于这方面的原因使得均值方差模型的推广应用手动了很大的限制。越来越多的投资者放弃单纯使用均值方差模型进行资产配置，开始在此基础上探索新的资产配置方法。

Black Litterman模型的基本思想

Black Litterman模型是基于马可威茨模型、CAPM模型以及贝叶斯模型所做的改进，它将投资者对资产的观点收益以及观点的信心水平、观点误差融入到模型中。该模型直观表示就是期望收益率是市场均衡收益率和投资者主观收益率的复杂加权平均。如果市场是有效的，市场均衡收益就是市场收益，它可以由历史数据获得。而投资者的主观预期可能有不同的来源，机构投资者可能来自对基本面的判断，而个人投资者可能倾向于报纸、网络等。

什么是期望收益率$E(R)$？根据历史数据的收益率去估计资产的期望收益率是可靠的吗，甚至这个期望收益率是时变的，那么用样本均值去估计它可能只是没有办法的办法；每个投资者心里面对资产也有一个期望收益率，这个主观的收益率也可以度量资产目前价格是否偏离真实价值。下面引入BL（Black Litterman）模型：

假设：

$$\prod=E(R)+\epsilon_1,\ \epsilon_1 \sim N(0,\tau\Sigma)$$ $$Q=PE(R)+\epsilon_2,\ \epsilon_2\sim N(0,\Omega)$$

其中$E(R)$表示n个资产的期望收益率列向量。$\prod$表示市场均衡收益，是我们观察到的各资产的收益率，而$Q$表示投资者观点的收益，$P$的每一行表示一个投资者的观点，一个观点可以看做一条权重，也可以看做一种策略，不同的投资者观点不一样，策略也不一样，收益$Q$也不一样。如果我们把两部分式子拼凑在一起去估计，可以得到回归方程的形式：

$$Y=XE(R)+\epsilon$$

其中，$Y\begin{bmatrix} \prod\\ Q \end{bmatrix}$，$X=\begin{bmatrix} I_n\\ P \end{bmatrix}$，$Z=\begin{bmatrix} \tau\Sigma \ 0 \\ 0\ \Omega \end{bmatrix}$，$\epsilon\sim N(0,Z)$。在回归方程两边左乘$Z^{-1/2}$，以保证残差项独立（非对角线元素应该为0），可以得到回归方程的OLS估计为：

$$\hat{E(R)}=(X'Z^{-1}X)^{-1}X'Z^{-1}Y$$

将$Y,X,Z$展开可以得到

$$E(R)=[(\tau\Sigma)^{-1}+P'\Omega^{-1}P]^{-1}[(\tau\Sigma)^{-1}\prod+P'\Omega^{-1}Q]$$

• $E(R)$ ：新构造的期望收益率列向量（后验收益）
• $\tau$ : 标量
• $\Sigma$ : 资产的超额收益协方差矩阵
• $\prod$ : 市场隐含均衡收益率向量（先验收益）
• $P$ : 投资者观点矩阵
• $Q$ : 观点收益向量
• $\Omega$: 观点误差的协方差矩阵，对角阵

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